高考数学考试大纲

高考志愿填报 2020-03-13 129 0

　　高考数学考试大纲

　　(一)必考内容与要求

　　1.集合

　　(1)集合的含义与表示

　　① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

　　② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

　　(2)集合间的基本关系

　　① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

　　② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.

　　(3)集合的基本运算

　　① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

　　② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

　　③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

　　2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)

　　(1)函数

　　① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.

　　② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.

　　③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.

　　④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

　　⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质.

　　(2)指数函数

　　① 了解指数函数模型的实际背景.

　　② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

　　③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.

　　④ 知道指数函数是一类重要的函数模型.

　　(3)对数函数

　　① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

　　② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

　　③ 知道对数函数是一类重要的函数模型;

　　④ 了解指数函数与对数函数互为反函数( ).

　　(4)幂函数

　　① 了解幂函数的概念.

　　② 结合函数的图像，了解它们的变化情况.

　　(5)函数与方程

　　① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

　　② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.

　　(6)函数模型及其应用

　　① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

　　② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

　　3.立体几何初步

　　(1)空间几何体

　　① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

　　② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.

　　③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

　　④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).

　　⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).

　　(2)点、直线、平面之间的位置关系

　　① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

　　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

　　◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

　　② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

　　理解以下判定定理.

　　◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

　　◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

　　◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

　　◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

　　理解以下性质定理，并能够证明.

　　◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.

　　◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

　　◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

　　③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

　　4.平面解析几何初步

　　(1)直线与方程

　　① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

　　② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

　　③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

　　④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

　　⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

　　⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

　　(2)圆与方程

　　① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

　　② 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

　　③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

　　④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

　　(3)空间直角坐标系

　　① 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.

　　② 会推导空间两点间的距离公式.

　　5.算法初步

　　(1)算法的含义、程序框图

　　① 了解算法的含义，了解算法的思想.

　　② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.

　　(2)基本算法语句

　　理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

　　6.统计

　　(1)随机抽样

　　① 理解随机抽样的必要性和重要性.

　　② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.

　　(2)总体估计

　　① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

　　② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

　　③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.

　　④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

　　⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

　　(3)变量的相关性

　　① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.

　　② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

　　7.概率

　　(1)事件与概率

　　① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.

　　② 了解两个互斥事件的概率加法公式.

　　(2)古典概型

　　①理解古典概型及其概率计算公式.

　　②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

　　(3)随机数与几何概型

　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

　　②了解几何概型的意义.

　　8.基本初等函数Ⅱ(三角函数)

　　(1)任意角的概念、弧度制

　　① 了解任意角的概念.

　　② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.

　　(2)三角函数

　　① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

　　② 能利用单位圆中的三角函数线推导出 α ，π± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性.

　　③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质(如单调性、最大值和最小值与 x 轴交点等).理解正切函数在区间( )的单调性.

　　④ 理解同角三角函数的基本关系式：

　　⑤ 了解函数的物理意义;能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.

　　⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

　　9.平面向量

　　(1)平面向量的实际背景及基本概念

　　①了解向量的实际背景.

　　②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

　　③理解向量的几何表示.

　　(2)向量的线性运算

　　① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

　　② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

　　③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.

　　(3)平面向量的基本定理及坐标表示

　　① 了解平面向量的基本定理及其意义.

　　② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

　　③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

　　④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

　　(4)平面向量的数量积

　　① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

　　② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

　　③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

　　④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

　　(5)向量的应用

　　①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

　　②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

　　10.三角恒等变换

　　(1)和与差的三角函数公式

　　① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

　　② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

　　③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

　　(2)简单的三角恒等变换

　　能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

　　11.解三角形

　　(1)正弦定理和余弦定理

　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

　　(2)应用

　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

　　12.数列

　　(1)数列的概念和简单表示法

　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).

　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

　　(2)等差数列、等比数列

　　① 理解等差数列、等比数列的概念.

　　② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.

　　③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

　　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

　　13.不等式

　　(1)不等关系

　　了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.

　　(2)一元二次不等式

　　① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

　　② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

　　③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

　　(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

　　① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

　　② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

　　③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

　　(4)基本不等式：

　　① 了解基本不等式的证明过程.

　　② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

　　14.常用逻辑用语

　　(1)命题及其关系

　　① 理解命题的概念.

　　②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

　　③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

　　(2)简单的逻辑联结词

　　了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

　　(3)全称量词与存在量词

　　① 理解全称量词与存在量词的意义.

　　② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

　　15.圆锥曲线与方程

　　(1)圆锥曲线

　　① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

　　② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

　　③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

　　④ 了解圆锥曲线的简单应用.

　　⑤ 理解数形结合的思想.

　　(2)曲线与方程

　　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

　　16.空间向量与立体几何

　　(1)空间向量及其运算

　　① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

　　② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

　　③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

　　(2)空间向量的应用

　　① 理解直线的方向向量与平面的法向量.

　　② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

　　③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

　　④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.

　　17.导数及其应用

　　(1)导数概念及其几何意义

　　① 了解导数概念的实际背景.

　　② 理解导数的几何意义.

　　(2)导数的运算

　　① 能根据导数定义，求函数 (c为常数)的导数.

　　② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

　　常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

　　(C为常数); , n∈N+; ;

　　; ; (a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).

　　法则1 .

　　法则2 .

　　法则3 .

　　(3)导数在研究函数中的应用

　　① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

　　② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

　　(4)生活中的优化问题.

　　会利用导数解决某些实际问题..

　　(5)定积分与微积分基本定理

　　① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

　　② 了解微积分基本定理的含义.

　　18.推理与证明

　　(1)合情推理与演绎推理

　　① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

　　② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

　　③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

　　(2)直接证明与间接证明

　　① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

　　② 了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

　　(3)数学归纳法

　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

　　19.数系的扩充与复数的引入

　　(1)复数的概念

　　①理解复数的基本概念.

　　②理解复数相等的充要条件.

　　③了解复数的代数表示法及其几何意义.

　　(2)复数的四则运算

　　①会进行复数代数形式的四则运算.

　　②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

　　20.计数原理

　　(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理

　　①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理;

　　②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

　　(2)排列与组合

　　①理解排列、组合的概念.

　　②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

　　③能解决简单的实际问题.

　　(3)二项式定理

　　①能用计数原理证明二项式定理.

　　②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

　　21.概率与统计

　　(1)概率

　　① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

　　② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

　　③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

　　④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

　　⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

　　(2)统计案例

　　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

　　(1)独立性检验

　　了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.

　　(2)回归分析

　　了解回归的基本思想、方法及其简单应用.

　　(二)选考内容与要求

　　1.几何证明选讲

　　(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.

　　(2)会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.

　　(3)会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

　　(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

　　(5)了解下面定理：

　　定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点 O ，其夹角为α, 围绕旋转得到以 O 为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为 β (π与平行，记 β=0)，则：

　　① β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆;

　　② β= α ，平面π与圆锥的交线为抛物线;

　　③ β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线.

　　(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F、E)证明上述定理①情形：当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.(图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A.)

　　(7)会证明以下结果：

　　① 在(6)中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π';

　　②如果平面π与平面π'的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率.)

　　(8)了解定理(5)③中的证明，了解当β无限接近α时,平面π的极限结果.

　　2.坐标系与参数方程

　　(1)坐标系

　　① 理解坐标系的作用.

　　② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

　　③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

　　④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

　　⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.

　　(2)参数方程